8월의 수학신문

  1. 어림, 그냥 계산하면 되는 것 아니였어?

여러분 안녕하세요! 수학 신문의 이현우 선생님입니다.
여러분들에게 매달 우리 생활 속에서 발견할 수 있는 수학 상식에 대해 알려주려고 합니다.

여러분들은 선생님께서 "어림해보자" 라고 하시면 어떻게 하나요? 아마 다들 그냥 계산하고 결과값을 이야기 하는 친구들이 많을겁니다. 아니면 계산을 먼저 해놓고 어림값을 이야기 하는 친구들이 많을겁니다. 그런데 이 어림이 생활 속에서도, 일을 하는데도 중요하다는 것을 알고 있나요? 오늘은 어림에 대해 같이 알아보려고 합니다.

2. 어림, 도대체 왜 하는 거야?

'대강 짐작으로 헤아림. 또는 그런 셈이나 짐작'

사전에 등재된 어림의 의미입니다. 아마 수학 시간에 어림을 해보자는 이야기를 참 많이 들었을 겁니다. 그렇다면 여러분들이 수학시간에 어림의 힘을 느낄 수 있는 것은 언제일까요? 아래의 계산 결과를 어림해 볼까요?

당장 3~4학년 친구들은 위의 계산을 배우지 못해 당황할 수 있을겁니다. 위의 계산은 5학년 때 배우는 것이니까요. 하지만 3~4학년 친구들도 분수에 대해서 배웠다면 충분히 어림할 수 있습니다.

어림 결과는 얼마가 나왔나요? 6? 7? 어림에는 정답이 없으니 둘 다 맞는 어림일까요?


위의 식에 대한 어림을 할 때 틀린 어림은 없지만, 좀 더 수준 높은 어림이 있습니다. 식에 대한 정답은 잘 몰라도 다음과 같이 어림할 수 있어요.


우선 1/2을 기준으로 생각해 봅시다. 2/4의 경우엔 1/2과 크기가 같습니다.(혹시나 이해가 잘 안되면 그림으로 한 번 그려보세요) 그리고 2/3는 1/2보다 크지요. 그렇다면 2/4와 2/3를 더한다면 무조건 1/2+1/2의 합인 1보다 크다는 결론이 나옵니다. 따라서 5+1+1=7보다 크다는 결론이 나오게 됩니다. 여러분들이 통분을 배우지 않았더라도 위의 계산 결과값이 7보다 크다는 어림 결과를 얻을 수 있는 거지요.

선생님 같은 경우엔 분수 연산 학습에 들어갈 때 친구들과 위와 같은 어림을 꼭 해봅니다. 위와 같은 어림을 할 수 있는 친구라면 덧셈 결과가 7보다 작게 나올 경우 자신의 계산 결과를 다시 한 번 점검해볼 수 있을겁니다. 이처럼 학교에서 선생님이 강조하시는 어림은 자신의 계산결과가 올바르게 나왔는지 점검하는 역할을 해줄 수 있어요.


★어림: 나의 계산 결과를 어느정도 예측하고 잘못된 계산을 막아주는 역할


하지만 이것만 가지곤 여러분들이 어림을 할 줄 알아야 한다고 설득하기 어려울 겁니다. 이제 어림이 생활 속에서 어떻게 쓰이는지 살펴봅시다.

3. 어림, 이렇게 사용하는 거였어?

여러분들은 스포츠 경기를 좋아하시나요? 혹은 경기를 본 적 있나요? 만약 그림처럼 관중들이 들어 있는 경기장에서 들어온 관중들의 수를 셀 때 어떤 식으로 셀까요? 한 명 한 명 숫자를 세어나갈까요? 좀 더 쉬우면서 논리적인 방법은 없을까요?

만약 오른쪽 그림처럼 한 면에 들어가 있는 관중의 수만 세면 어떨까요? 아마 다른 면에 들어 있는 관중의 수는 조금씩 다르겠지만, 전체 관중의 수와는 큰 차이가 없을 겁니다. (한 면에 있는 관중의 수) X (면의 수)로 어림할 수 있을 겁니다. 물론 정확한 관중의 수와는 다를 수 있을겁니다. 하지만 우리가 의사소통을 하면서 정보를 전달할 땐, 생각보다 정확한 숫자를 요구하는 경우는 많지 않습니다.

예를 들면 다음과 같은 대화 상황을 생각해 볼 수 있을 겁니다.

예1) 오늘 FC바르셀로나와 레알마드리드와의 경기에 89,231명의 관중이 왔습니다. 관중들의 열띤 응원이 돋보이는 경기였습니다. (생략)

예2) 예1) 오늘 FC바르셀로나와 레알마드리드와의 경기에 약 8만 8천명의 관중들이 모여들었습니다. (생략)

두 대화에서 어떤 차이가 느껴지나요? 아마 예1은 정확한 숫자를 적어두었지만, 아마 여러분들은 이렇게 생각할 겁니다.

'어? 저걸 정확하게 셀 수 있나?' '경기장에 왔다갔다하는 사람들이 있을 건데 그걸 전부 세었다고?'

실제로 많은 사람들이 모이는 상황은 사람들의 움직임 때문에 정확한 숫자를 세는 것이 불가능에 가깝습니다. 그리고 위의 상황과 같은 정보를 전달할 때 중요한 건 대략 어느 정도의 숫자를 알고 싶어하지 정확한 숫자 하나하나를 원하지는 않는 경우가 많습니다.

즉 정리하자면, 대화 속에 숫자를 전달 할 땐, 모든 숫자를 정확하게 전달하기 보단 적당한 어림과 생략으로 전달할 때 서로 의사소통이 더욱 원할하다는 것 입니다.

[그림] 관중이 있는 축구장

[그림] 어림을 하는 방법

하지만 예1처럼 정보를 전달하는 사람은 다음과 같이 생각할 수 있을겁니다.

아마 예1) 처럼 정확한 숫자를 원하는 사람들은 다음과 같이 생각할 수 있을 겁니다.

'예2처럼 인원을 어림해버리면 부정확한 것 아니야?' ' 저 방법이 수학적인 방법이라고?


네 위의 방법은 수학적으로도 나름 근거가 있는 방법이에요. 위의 방법은 수학적으로 '몬테카를로 방법(혹은 랜덤샘플링)'이라고 불리는 방법을 생활 속에서 적절하게 활용한 것이라고 보면 됩니다.

몬테카를로 방법이란, 조사해야 할 종류(수)가 너무 많을 때, 이를 전부 조사하지 않고 무작위로 일부만 조사하는 방법을 의미합니다. 이와 같은 방법은 '당신은 현재 대통령을 지지합니까?', '일본에 대한 국민들의 선호도 조사' 등 조사하는 대상은 국민인데 국민들을 대상으로 전부 조사할 수 없을 때 주로 사용합니다.

[그림] 몬테카를로 방법 소개1

[그림] 몬테카를로 방법 소개2

[그림] 몬테카를로 방법 소개3



4. 어림으로 이런 문제도 해결할 수 있다고? - 정답이 없는 문제를 푸는 힘, 페르미 추정

대한민국에서 미용사로 활동하는 인구는 얼마인가?


여러분들은 만약 위와 같은 질문을 받는다면 어떻게 대답할 것인가요? 아마 어떤 친구는 통계자료를 살펴보아야 한다고 이야기 할 것이고, 어떤 친구는 그걸 일일이 다 셀 수 없으니 잘 모르겠다고 이야기 할 것입니다. 또 어떤 친구는 왜 그런 황당한 질문을 내냐고 화를 내기도 할 것이에요.

위와 같은 질문을 자주 던지던 과학자가 있었어요. 바로 '엔리코 페르미' 라는 미국의 핵물리과학자 였습니다. 여러분들이 들어본 적 있는 핵폭탄을 개발,설계하는 것에 참여한 인물로 알려져 있지요.

엔리코 페르미는 자신의 수업에 들어오는 학생들에게 위와 같이 정답이 정해져 있지 않은 질문을 자주 던졌다고 합니다. 이 때 그가 강조한 것은 정답이 아니에요. 바로 위와 같이 답을 알 수 없는 질문에 논리적으로 생각하는 능력을 크게 강조하였어요.

예를 들면 위와 같은 질문은 다음과 같이 해결해 볼 수 있어요.

대한민국에서 미용사로 활동하는 인구는 얼마인가?에 대한 어림방법


1. 대한민국의 인구수는 2021년 현재 약 5천800만이다.

2. 모든 사람들이 1달에 1번 머리를 잘라야 한다고 가정한다.

3. 머리를 자를 때 남,여 평균 30분 정도 걸린다고 생각한다.

4. 미용실의 경우 보통 오전 10시에 열어서 저녁 9시까지 영업하는 경우가 많다. 식사시간을 제외하면 10시간 정도 근무한다고 생각하면 된다.

5. 한 사람당 30분 정도 걸리니 1시간에 2명의 손님을 받을 수 있다. 그렇다면 하루에 2X10=20명 정도 손님을 받는다.

6. 한 달에 휴일을 제외하면 약 25일 정도 근무한다고 생각할 때, 25일X20명=500명의 손님을 받는다

7. 58,000,000명 / 500명 = 한 달에 필요한 미용사 인원이 되고, 미용사로 근무하는 인원은 약 116,000명으로 어림할 수 있다.


물론 선생님이 어림한 값은 실제와 다를 수 있어요. 하지만 위와 같이 내가 당장 정확한 답을 알 수 없는 질문에 대해 내가 알고 있는 정보를 바탕으로 논리적으로 어림해 나가는 과정을 볼 수 있을거에요.

이와 같은 방법을 '페르미의 추정' 이라고 부릅니다. 이 페르미의 추정을 무한도전의 '정총무가 쏜다' 편에서 확인할 수 있어요. 내용 자체도 재미있지만, 여러분들이 영상 속에서 '정준하'씨가 어떻게 어림값을 계산하는지 논리적으로 생각해보면 좋을 것 같아요.

위와 같이 페르미의 추정과 관련된 질문들은 구글, 마이크로소프트의 입사시험 문제로 출제가 되어 화제가 되었어요.

구글의 입사시험 문제: 골프공을 스쿨버스에 가득 채워 넣는다면 몇 개 넣을 수 있을까요?

[그림] 엔리코 페르미(미국의 핵물리과학자)

[영상] 무한도전 - 정총무가 쏜다

어떤가요? 여러분들도 해볼 수 있을 것 같나요? 여러분들도 아래의 질문에 대해 어림을 활용하여 나만의 답을 세워보세요. 세운 답은 패들렛에 남겨주세요.


질문: 우리 반 책상에 지우개를 빈틈없이 채워 넣는다면 몇 개를 채워넣을 수 있을까?


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[출처]


  1. 수학의 핵심(2020), DK 수학의핵심 편찬위원회, 출판사 비룡소