8월의 수학신문

여러분 안녕하세요! 수학 신문의 이현우 선생님입니다.
여러분들에게 매달 우리 생활 속에서 발견할 수 있는 수학 상식에 대해 알려주려고 합니다.

여러분들은 선생님께서 "어림해보자" 라고 하시면 어떻게 하나요? 아마 다들 그냥 계산하고 결과값을 이야기 하는 친구들이 많을겁니다. 아니면 계산을 먼저 해놓고 어림값을 이야기 하는 친구들이 많을겁니다. 그런데 이 어림이 생활 속에서도, 일을 하는데도 중요하다는 것을 알고 있나요? 오늘은 어림에 대해 같이 알아보려고 합니다.

'대강 짐작으로 헤아림. 또는 그런 셈이나 짐작'

사전에 등재된 어림의 의미입니다. 아마 수학 시간에 어림을 해보자는 이야기를 참 많이 들었을 겁니다. 그렇다면 여러분들이 수학시간에 어림의 힘을 느낄 수 있는 것은 언제일까요? 아래의 계산 결과를 어림해 볼까요?

당장 3~4학년 친구들은 위의 계산을 배우지 못해 당황할 수 있을겁니다. 위의 계산은 5학년 때 배우는 것이니까요. 하지만 3~4학년 친구들도 분수에 대해서 배웠다면 충분히 어림할 수 있습니다.

어림 결과는 얼마가 나왔나요? 6? 7? 어림에는 정답이 없으니 둘 다 맞는 어림일까요?

위의 식에 대한 어림을 할 때 틀린 어림은 없지만, 좀 더 수준 높은 어림이 있습니다. 식에 대한 정답은 잘 몰라도 다음과 같이 어림할 수 있어요.

우선 1/2을 기준으로 생각해 봅시다. 2/4의 경우엔 1/2과 크기가 같습니다.(혹시나 이해가 잘 안되면 그림으로 한 번 그려보세요) 그리고 2/3는 1/2보다 크지요. 그렇다면 2/4와 2/3를 더한다면 무조건 1/2+1/2의 합인 1보다 크다는 결론이 나옵니다. 따라서 5+1+1=7보다 크다는 결론이 나오게 됩니다. 여러분들이 통분을 배우지 않았더라도 위의 계산 결과값이 7보다 크다는 어림 결과를 얻을 수 있는 거지요.

선생님 같은 경우엔 분수 연산 학습에 들어갈 때 친구들과 위와 같은 어림을 꼭 해봅니다. 위와 같은 어림을 할 수 있는 친구라면 덧셈 결과가 7보다 작게 나올 경우 자신의 계산 결과를 다시 한 번 점검해볼 수 있을겁니다. 이처럼 학교에서 선생님이 강조하시는 어림은 자신의 계산결과가 올바르게 나왔는지 점검하는 역할을 해줄 수 있어요.

★어림: 나의 계산 결과를 어느정도 예측하고 잘못된 계산을 막아주는 역할

하지만 이것만 가지곤 여러분들이 어림을 할 줄 알아야 한다고 설득하기 어려울 겁니다. 이제 어림이 생활 속에서 어떻게 쓰이는지 살펴봅시다.

여러분들은 스포츠 경기를 좋아하시나요? 혹은 경기를 본 적 있나요? 만약 그림처럼 관중들이 들어 있는 경기장에서 들어온 관중들의 수를 셀 때 어떤 식으로 셀까요? 한 명 한 명 숫자를 세어나갈까요? 좀 더 쉬우면서 논리적인 방법은 없을까요?

만약 오른쪽 그림처럼 한 면에 들어가 있는 관중의 수만 세면 어떨까요? 아마 다른 면에 들어 있는 관중의 수는 조금씩 다르겠지만, 전체 관중의 수와는 큰 차이가 없을 겁니다. (한 면에 있는 관중의 수) X (면의 수)로 어림할 수 있을 겁니다. 물론 정확한 관중의 수와는 다를 수 있을겁니다. 하지만 우리가 의사소통을 하면서 정보를 전달할 땐, 생각보다 정확한 숫자를 요구하는 경우는 많지 않습니다.

예를 들면 다음과 같은 대화 상황을 생각해 볼 수 있을 겁니다.

예1) 오늘 FC바르셀로나와 레알마드리드와의 경기에 89,231명의 관중이 왔습니다. 관중들의 열띤 응원이 돋보이는 경기였습니다. (생략)

예2) 예1) 오늘 FC바르셀로나와 레알마드리드와의 경기에 약 8만 8천명의 관중들이 모여들었습니다. (생략)

두 대화에서 어떤 차이가 느껴지나요? 아마 예1은 정확한 숫자를 적어두었지만, 아마 여러분들은 이렇게 생각할 겁니다.

'어? 저걸 정확하게 셀 수 있나?' '경기장에 왔다갔다하는 사람들이 있을 건데 그걸 전부 세었다고?'

실제로 많은 사람들이 모이는 상황은 사람들의 움직임 때문에 정확한 숫자를 세는 것이 불가능에 가깝습니다. 그리고 위의 상황과 같은 정보를 전달할 때 중요한 건 대략 어느 정도의 숫자를 알고 싶어하지 정확한 숫자 하나하나를 원하지는 않는 경우가 많습니다.

즉 정리하자면, 대화 속에 숫자를 전달 할 땐, 모든 숫자를 정확하게 전달하기 보단 적당한 어림과 생략으로 전달할 때 서로 의사소통이 더욱 원할하다는 것 입니다.

하지만 예1처럼 정보를 전달하는 사람은 다음과 같이 생각할 수 있을겁니다.

아마 예1) 처럼 정확한 숫자를 원하는 사람들은 다음과 같이 생각할 수 있을 겁니다.

'예2처럼 인원을 어림해버리면 부정확한 것 아니야?' ' 저 방법이 수학적인 방법이라고?

네 위의 방법은 수학적으로도 나름 근거가 있는 방법이에요. 위의 방법은 수학적으로 '몬테카를로 방법(혹은 랜덤샘플링)'이라고 불리는 방법을 생활 속에서 적절하게 활용한 것이라고 보면 됩니다.

몬테카를로 방법이란, 조사해야 할 종류(수)가 너무 많을 때, 이를 전부 조사하지 않고 무작위로 일부만 조사하는 방법을 의미합니다. 이와 같은 방법은 '당신은 현재 대통령을 지지합니까?', '일본에 대한 국민들의 선호도 조사' 등 조사하는 대상은 국민인데 국민들을 대상으로 전부 조사할 수 없을 때 주로 사용합니다.

대한민국에서 미용사로 활동하는 인구는 얼마인가?

여러분들은 만약 위와 같은 질문을 받는다면 어떻게 대답할 것인가요? 아마 어떤 친구는 통계자료를 살펴보아야 한다고 이야기 할 것이고, 어떤 친구는 그걸 일일이 다 셀 수 없으니 잘 모르겠다고 이야기 할 것입니다. 또 어떤 친구는 왜 그런 황당한 질문을 내냐고 화를 내기도 할 것이에요.

위와 같은 질문을 자주 던지던 과학자가 있었어요. 바로 '엔리코 페르미' 라는 미국의 핵물리과학자 였습니다. 여러분들이 들어본 적 있는 핵폭탄을 개발,설계하는 것에 참여한 인물로 알려져 있지요.

엔리코 페르미는 자신의 수업에 들어오는 학생들에게 위와 같이 정답이 정해져 있지 않은 질문을 자주 던졌다고 합니다. 이 때 그가 강조한 것은 정답이 아니에요. 바로 위와 같이 답을 알 수 없는 질문에 논리적으로 생각하는 능력을 크게 강조하였어요.

예를 들면 위와 같은 질문은 다음과 같이 해결해 볼 수 있어요.

대한민국에서 미용사로 활동하는 인구는 얼마인가?에 대한 어림방법

1. 대한민국의 인구수는 2021년 현재 약 5천800만이다.

2. 모든 사람들이 1달에 1번 머리를 잘라야 한다고 가정한다.

3. 머리를 자를 때 남,여 평균 30분 정도 걸린다고 생각한다.

4. 미용실의 경우 보통 오전 10시에 열어서 저녁 9시까지 영업하는 경우가 많다. 식사시간을 제외하면 10시간 정도 근무한다고 생각하면 된다.

5. 한 사람당 30분 정도 걸리니 1시간에 2명의 손님을 받을 수 있다. 그렇다면 하루에 2X10=20명 정도 손님을 받는다.

6. 한 달에 휴일을 제외하면 약 25일 정도 근무한다고 생각할 때, 25일X20명=500명의 손님을 받는다

7. 58,000,000명 / 500명 = 한 달에 필요한 미용사 인원이 되고, 미용사로 근무하는 인원은 약 116,000명으로 어림할 수 있다.

물론 선생님이 어림한 값은 실제와 다를 수 있어요. 하지만 위와 같이 내가 당장 정확한 답을 알 수 없는 질문에 대해 내가 알고 있는 정보를 바탕으로 논리적으로 어림해 나가는 과정을 볼 수 있을거에요.

이와 같은 방법을 '페르미의 추정' 이라고 부릅니다. 이 페르미의 추정을 무한도전의 '정총무가 쏜다' 편에서 확인할 수 있어요. 내용 자체도 재미있지만, 여러분들이 영상 속에서 '정준하'씨가 어떻게 어림값을 계산하는지 논리적으로 생각해보면 좋을 것 같아요.

위와 같이 페르미의 추정과 관련된 질문들은 구글, 마이크로소프트의 입사시험 문제로 출제가 되어 화제가 되었어요.

구글의 입사시험 문제: 골프공을 스쿨버스에 가득 채워 넣는다면 몇 개 넣을 수 있을까요?

어떤가요? 여러분들도 해볼 수 있을 것 같나요? 여러분들도 아래의 질문에 대해 어림을 활용하여 나만의 답을 세워보세요. 세운 답은 패들렛에 남겨주세요.

질문: 우리 반 책상에 지우개를 빈틈없이 채워 넣는다면 몇 개를 채워넣을 수 있을까?

[출처]

1. 수학의 핵심(2020), DK 수학의핵심 편찬위원회, 출판사 비룡소