9월의 수학신문

  1. 삐딱하게 보는 수학, 평균의 함정

여러분 안녕하세요! 수학 신문의 이현우 선생님입니다.
여러분들에게 매달 우리 생활 속에서 발견할 수 있는 수학 상식에 대해 알려주려고 합니다.

여러분들은 평소에 평균을 언제 주로 사용하나요? 학원에서 본 시험 점수들의 평균값을 구할 때? 아니면 친구들의 용돈의 평균을 구할 때?

오늘은 우리 생활 속에 자주 사용하는 평균에 대해 같이 알아보고자 합니다.

2. 평균에 대해 먼저 알아보기

'여러 수나 같은 종류의 양의 중간값을 갖는 수'

사전에 등재된 평균의 의미입니다. 사실 사전으로 굳이 찾아보지 않더라도 여러분들이 생활 속에서 정말 자주 사용하는 수학 개념 중 하나라서 쉽게 이해할 수 있을 겁니다.

평균은 이렇게 여러 가지 수들 중 '대표값'으로 주로 사용됩니다. '대표값' 이라는 것은 여러 가지 수들 중 대표한다는 뜻이지요. 그렇다면 다음과 같이 조사된 결과를 한 번 살펴볼까요?


좋아하는 과목 투표(총 20명) : 국어(2), 수학(5), 사회(3), 과학(4), 체육(8)


위와 같은 투표 결과에서 평균값은 2+5+3+4+8 / 5 = 4가 됩니다. 즉 4가 평균값이자, 모든 과목들의 대표값이 됩니다.

3. 평균에게 속지 말자! 삐딱하게 바라보기

"1984년 노스캐롤라이나대학교 경제학과 졸업생 연봉의 평균은 약 1억 3천만원 이었다."


혹시 저 문장을 보고 어떤 생각이 들었나요? 1984년이면 지금으로부터 약 30년 전이니, 노스캐롤라이나 경제학과 졸업생들이 정말 뛰어난 학생들이라고 생각이 들었나요?

저 문장 속에 우리는 한 가지 놓치고 가는 것이 있습니다. 바로 1억 3천만원이라는 평균값(대표값)이라는 것이지요. 만약 평균이 1억 3천만원이라면, 모두가 똑같이 1억 3천을 받지는 않더라도, 대부분 졸업생들이 비슷하게 받아야 의미 있는 내용일 것입니다.


하지만 실제로는 그렇지 않았아요. 바로 아래에 제시된 인물 때문이지요.

[그림] 노스캐롤라이나 경제학과 졸업생, 마이클 조던

바로 농구의 황제라고 불리는 인물이자 지금도 미국 농구를 상징하는 전설적 인물! 마이클 조던 때문이에요.


마이클 조던은 노스캐롤라이나 대학교를 졸업 후, 시카고 불스에 입단하면서 엄청난 거액을 받았고, 이는 노스캐롤라이나 경제학과 졸업생들의 연봉값에 반영되었어요.


바꿔 이야기하면 마이클 조던 1명을 제외한 나머지 학생들의 연봉은 위와 같이 많지 않았다는 거에요.


바로 여기에서 우리는 평균이 가지는 모순을 확인할 수 있어요. 즉 너무 크거나 작은 1개의 값이 평균값을 왜곡하고 사실과 다르게 전달될 수 있다는 것이에요.

4. 그렇다면 평균 말고 다른 대표값들은 무엇이 있을까?

위의 마이클 조던의 사례에서 알 수 있는 건 우리가 평균만 살펴보고 전체를 이해한다면 평균이 가지고 있는 함정에 빠질 수도 있다는 거에요. 평균 1개만 살펴봐서는 전체의 모습을 이해하기 어렵습니다.


그렇다면 평균을 보완해줄 수 있는 다른 대표값들은 어떤 것들이 있을까요? 다음 숫자들을 살펴봅시다.


2,2,3,5,6,7,7,7,7,8,9,150

위의 숫자들을 한 번 살펴볼까요? 아까 평균이 보여주는 함정에서 보았듯이 위의 숫자들의 평균을 구해보면 17.5가 나옵니다. 얼핏 보면 제대로 구한 평균 같지만, 17.5라는 숫자는 위의 2,3,27과 같은 숫자들을 대표한다고 말하기 쉽지 않을 것입니다. 왜냐하면 위의 숫자 배열 그 어디에도 17.5라는 숫자가 없기 때문이지요. 따라서 수학자들은 평균 뿐만 아니라 다른 대푯값들도 함께 살펴봅니다.


다른 대표값 1 - 중앙값: 자료들을 나열하였을 때, 중간에 위치하는 값

예: 현재 위의 숫자들은 총 12개가 배열되어 있으며, 중앙값은 6번째와 7번째 숫자의 사이에 존재하는 숫자이며 이는 (7+7/2=7) 7이다.

다른 대표값 2 - 최빈값: 자료들을 나열하였을 때, 가장 많이 나오는 값

예: 현재 위의 숫자들은 총 12개가 배열되어 있으며, 그 중 가장 많이 등장하는 값은 7이다.

결론을 내자면 평균은 17.5이지만 평균만 살펴보면 평균값을 잘못 이해할 수 있기 때문에 우리는 중앙값, 최빈값 같은 대표값들도 함께 살펴보고 자료를 이해해야 합니다.


(추가) 만약 위와 같은 숫자 배열에서 좀 더 의미 있게 평균을 구하려면 어떻게 할까요? 실제로 자료를 조사하였을 때, 위와 같이 150이 존재한다면 어떻게 할까요? 물론 조사하고 평균을 내는 사람의 선택이긴 하지만, 150과 같이 지나치게 벗어나는 수를 제외하는 경우도 있어요. 만약 150을 제외한다면 평균이 5.45로 좀 더 위의 숫자들을 대표할만한 숫자로 바뀌게 되지요.

5. 평균의 함정에 대한 학습 영상들

[영상1] 평균의 함정

[영상2] 평균의 함정


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[출처]


  1. 수학의 핵심(2020), DK 수학의핵심 편찬위원회, 출판사 비룡소