10월의 수학신문

여러분 안녕하세요! 수학 신문의 이현우 선생님입니다.
여러분들에게 매달 우리 생활 속에서 발견할 수 있는 수학 상식에 대해 알려주려고 합니다.

오늘은 우리 선조들의 지혜를 살펴볼 수 있는 역사 유물을 가지고 수학에 대해 이야기를 나눠보려고 합니다.

주령구는 과연 공평한 주사위일까?

우리가 동전을 던질 때 앞 면이 나올 확률은 얼마일까요?

모두들 알다시피 1/2입니다. (혹은 0.5라고 표현하는 친구도 있을거고 1:1이라고 표현하는 친구도 있을겁니다. 확률은 0~1 사이의 값으로 표현해야 하므로 1/2 또는 0.5라고 표현하는 것이 정확합니다.)

그렇다면 동전을 던지면 항상 1/2의 결과를 만족하게 나올까요? 아마 그렇지 않을 겁니다. 당장 동전을 10번 던지면 모두들 앞/뒤 결과가 서로 다를겁니다.

그렇다면 동전을 엄청 많이 던져보면 어떨까요? 아마 처음보다는 점점 더 우리가 아는 확률에 가까워 질겁니다. (이를 '큰 수의 법칙'이라고 부릅니다.)

그렇다고 무한히 많이 던지는 건 귀찮겠지요? 다행히 여러분들이 배우는 엔트리를 활용하여 동전던지기를 자동으로 해주는 프로그램이 있습니다. 잠시 들어가서 동전을 많이 던져봅시다.(너무 많이 던지게 시키면 결과가 오래 걸려요)

주령구가 공평한 주사위인지 아닌지 알아 볼 수 있는 방법은 크게 2가지 있어요.(물론 초등학생 수준입니다. 대신 난이도가 조금 높아요)

[방법1] 주령구를 많이 던져보고, 정사각형 1면이 나오는 평균 횟수와 육각형 1면이 나오는 평균 횟수를 비교한다.

[방법2] 주령구의 정사각형 1면의 넓이와 육각형 1면의 넓이의 크기를 비교한다.(두 면의 넓이가 같다면 확률도 같겠지요?)

※면의 넓이가 같으면 확률도 같은가? 라는 질문이 나올 수 있을텐데, 결론부터 말하면 Yes 입니다. 다만 이 내용 또한 초등학교 수준에서 증명하긴 어렵고, 우리가 사용하는 정육면체 주사위와 동전던지기를 생각하면 쉬울 것 같아요. 정육면체 주사위는 모든 면의 넓이가 같습니다. 또 동전 또한 앞, 뒷면의 넓이가 같습니다.

[방법1] 주령구를 많이 던져보고 정사각형 1면이 나오는 평균 횟수를 확인해보기

물론 여러분들이 집에서 주령구를 직접 던져봐도 되지만, 선생님 반 친구들이랑 같이 던진 결과 사진이 있어서 던진 결과를 여기에 공유해요.

선생님 반 친구들이 총 30명 있는데, 1명당 50번 씩 , 총 1,500번을 던져서 그 결과값을 비교해 보았어요.(결과를 비교하면 좋을 것 같아 작년에 같이 한 결과값도 함께 올려요)

결과값을 자세히 살펴보면 각 모둠마다 정사각형이나 육각형이 나오는 횟수는 모두 다르지만, 둘의 평균 값이 큰 차이가 없다는 것을 알 수 있어요(올 해는 좀 더 오차가 큰 편이고, 작년 값은 거의 비슷하게 나왔었어요 ^^)

여러분들이 생각했을 때, 주령구를 더 많이 던지면 어떤 결과가 나올 것 같나요?

[방법2] 주령구의 정사각형과 육각형의 넓이 구해보기

두 번째 방법은 주령구의 정사각형과 육각형의 넓이를 직접 구해보는 겁니다. 선생님 반 친구들이 구한 결과는 다음과 같아요.

지난 달에 살펴 보았던 평균에 대한 내용이 이번 주령구에서도 쓰이니, 평균이 꽤 중요한 개념이라는 것을 알 수 있었을 거에요.

또 우리가 주령구를 살펴보면서 '확률' 에 대해 대략적으로 살펴보는 기회도 얻을 수 있었어요.

그리고 무엇보다 중요한 건 우리 선조들이 이렇게 수학적으로 훌륭한 주사위를 만들고 재미 있게 가지고 놀았다는 사실!

여러분들도 집에서 직접 주령구를 만들고, 가족들과 재미 있게 가지고 놀면 어떨까요? (주령구 전개도는 네이버나 구글에서 검색하면 쉽게 얻을 수 있답니다^^)

[출처]

1. 수학의 핵심(2020), DK 수학의핵심 편찬위원회, 출판사 비룡소