11월의 수학신문

  1. 대칭, 완벽함에 대하여

여러분 안녕하세요! 수학 신문의 이현우 선생님입니다.
여러분들에게 매달 우리 생활 속에서 발견할 수 있는 수학 상식에 대해 알려주려고 합니다.

오늘은 우리 생활 속에서 살펴볼 수 있는 대칭에 대해 이야기 해 보려고 합니다.

2. 대칭의 의미는 무엇이지?

대칭(symmetry): 축을 중심으로 양쪽의 모양이 같은 것을 말함.


사전에 나오는 '대칭'의 의미 입니다. 위의 표현에서 우리는 중요한 낱말 1가지를 찾을 수 있습니다. 바로 '축' 입니다.

우리가 생활 속에서 자주 사용하는 낱말인 '대칭'은 모두 축이 반드시 존재해야 하고, 그 축을 기준으로 양쪽의 모양이 같을 때만 '대칭' 이라는 표현을 사용할 수 있습니다.

결국 '대칭'을 공부할 때 제일 중요한 것은 '대칭축이 무엇이냐?'를 생각하는 것 입니다. 대칭축에 대한 판단 없이 그냥 좌우 모양이 비슷하다고 해서 대칭이라고 부를 순 없습니다.

3. 대칭의 종류는 무엇이 있지?

그렇다면 대칭의 종류에는 무엇이 있을까요? 수학이 발전하면서 대칭의 종류는 우리가 평소에 사용하는 의미보다 좀 더 다양하게 사용되지만, 초등학교 수준에서 배우는 대칭은 '선대칭''점대칭' 이 있습니다. 일단 선대칭과 점대칭에 대해 같이 알아봅시다.

[선대칭]

대칭축(직선)을 기준으로 좌우가 완전히 동일하여 겹쳐지는 대칭

[점대칭]

점을 중심으로 180도 회전하였을 때 완전히 겹치는 대칭

여러분들이 평소에 쉽게 볼 수 있는 선대칭에 대해서는 쉽게 이해할 수 있을거에요. 하지만 점대칭의 경우 헷갈려 하는 학생들이 많으니 같이 같이 한 번 확인해 봅시다.

점대칭은 중심이 되는 점을 기준으로 180도 회전하여도 여전히 모양이 같아야 합니다. 위에 선생님이 제시한 모양이 점대칭인지 확인하는 가장 쉬운 방법은 직접 180도 돌려보는 방법이 가장 확실하겠지요? (실제로 작년 선생님 제자들은 점대칭 도형 문제가 나오면 일단 시험지의 그림을 돌리던 모습이 생각나네요)

4. 선대칭이면서 점대칭인 도형이 있을 수 있을까?

잠시 생각해 봅시다. 위의 질문처럼 선대칭이 되면서 점대칭인 도형이 있을 수 있을까요?

위의 질문의 조건을 만족하려면 대칭축을 찾아 좌우로 나누었을 때 모두 동일하여야 하고, 180도 돌려도 여전히 모양이 같아야 합니다. 아마 당장 떠오르는 모양이 없을 수도 있어요. 과연 이러한 도형이 있을까요?

정답은 '원' 입니다. 원은 각도를 아무리 돌려도 동일하고, 어느 방향에서 대칭축을 그어도 여전히 모양이 동일하지요. 즉, 원은 언제나 선대칭도형이면서 점대칭도형입니다.

5. 우리 생활에서 만날 수 있는 대칭은 무엇이지?

우리 생활 속에서 만날 수 있는 대칭의 종류에는 무엇이 있을까요?

자연물로 생각한다면 나비와 같은 동물들을 떠올릴 수 있을 겁니다. 그리고 나비와 같은 동물을 표현하는 미술 기법인 데칼코마니도 떠오를 겁니다.

[대칭의 예] 나비

[대칭의 예] 데칼코마니 기법

대칭은 건축에서도 중요한 조형원리로 사용되기 때문에, 인도의 대표 건축물인 '타지마할'이나 우리나라 궁궐의 상징인 '근정전'에서도 찾아볼 수 있는 수학적인 원리이기도 합니다.

[대칭의 예] 타지마할

[대칭의 예] 근정전

6. 대칭, 완벽함에 대하여

대칭은 우리 생활 속에서 자주 찾아볼 수 있는 수학적 개념인데요. 실제로 사람들은 사물을 인식할 때 대칭구조 일수록 안정감을 느낀다고 합니다. 좌우가 완벽하게 일치할 수록 안정감을 주기 때문에, 좌우가 대칭구조에 가까운 얼굴을 가진 사람일수록 사람들에게 좋은 인상을 준다고 합니다. (실제로 대부분의 사람들의 얼굴은 좌우 모양이 다릅니다.)

사람 얼굴 뿐만 아니라 자연, 건축물 등 안정감을 주기 위해 다양한 곳에서 대칭이 사용되고 있습니다. 여러분들도 우리 생활 속에서 찾을 수 있는 대칭들을 찾아보면 어떨까요?


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[출처]


  1. 수학의 핵심(2020), DK 수학의핵심 편찬위원회, 출판사 비룡소